Question

已知x为锐角，求证sinx<x<tanx

还有证明(sinx)^3+(cosx)^3<1

Answer 1

已知x为锐角，用图的方法来解答你第一个不等式。

正弦线AP=sinx,正切线BC=tanx, 弧BP=x

明显就能看出AP<迟让BP<BC 也就是、sinx<x<戚御tanx

第二个不等式由(sinx)^2+(cosx)^2=1 推出，

由码仔局于sinx<=1 cosx<=1 且不可能同时满足sinx=1 cosx=1，所以(sinx)^3=sinx*(sinx)^2<(sinx)^2

(cosx)^3=cosx*(cosx)^2<(cosx)^2  必然满足其一，所以(sinx)^3+(cosx)^3<(sinx)^2+(cosx)^2=1

Answer 2

证明：

利用三角函数线

设x的终边是OC

则正弦线AP=sinx,正切线BC=tanx, 弧BP=x

则S(三角形OPB)<S(扇形OPB)<S(三角困做形OCB)

∴  (1/2)*OB*AP<茄尺贺(1/2)*弧BP*r<(1/2)*OB*BC

即颤派 (1/2)*1*sinx<(1/2)*x*1<(1/2)*1*tanx

即 sinx<x<tanx