Question

若方程X^2+x+a=0至少有一根为非负实数,求实数a的取值范围

如何结合函数图像解答，说简单点，是初学，不懂f(0)≤0是什么意思

Answer 1

令f(x)=x²+x+a，f(x)的图像与x轴的交点即为方程x²+x+a=0的根。

配方法可得：f(x)=x²+x+a=（x+1/2）²+a-1/4

因此，f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x=-1/2，随着a取值不同，函数图像在对称轴上下移动，其不同的位置情况见下图。

方程至少有一个非负根，说明函数图像与X正半轴（含0点）至少有一个交点，如第（1）条曲线所示。在这种情况下，因为函数值在[-1/2,+∞ ] 随着x增加而增加，只需x=0时，f(x)≤0（也就是f（0）≤0），即可满足函数与x正半轴（含0点）至少有一个交点。

所以f(0)=0²+0+a≤0，解得a≤0.

说明：因为函数对称轴为x=-1/2，函数如果与x轴有交点，则必然是分布在x=-1/2左右两侧。在右侧，图像是增函数，在x趋于+∞时，函数值也+∞；如果能保证f（0）≤0，那么函数必然在[0，+∞）区间有一个交点。

追问

"x²"是什意思，在我这边看到的是字符，不是字母符号

追答

是x的平方，在里边显示成代码了。

Answer 2

这是个开口向上的抛物线，对称轴是x=-1/2，这样正常只要b²-4ac≥0 就可以了，不见得非要
f(0)≤0，这样是有1负1正2个根，少了2个都是负根的情况
f(0)≤0，是表示函数图像y轴有非正截距

Answer 3

看对称轴 x=-b/(2a)  也就是 -0.5 所以只要有解一定有负数解

要有解 Δ=1-4a>0 解出 a<0.25 就是答案了

也可以配方 x^2+x+a=(x+0.5)^2+a-0.25，也能看出对称轴是-0.5，只要在最小值处小于0就行