Question

已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,等差数列{bn}满足b1=a1，b4=7. (1）求数列{an}.{bn}的通项公式

已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,等差数列{bn}满足b1=a1，b4=7.
(1）求数列{an}.{bn}的通项公式
(2)设C=1/bnb(n+1)数列{cn}的前N项和为Tn,求证Tn<1/2

Answer 1

(1)由题目a1=S1=2a1-1,可以得到a1=1，即b1=a1=1。
又因为Sn=2an-1，所以S(n-1)=2a(n-1)-1。（n≥2）
an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)，即an=2a(n-1)。
S2=a1+a2=2a2-1且a1=1，则a2=2，所以a2=2a1符合上式。
所以数列{an}是以a1=1为首项，公比为2的等比数列，
即数列{an}的通项公式是an=2^(n-1)。
b4=7,因为数列{bn}是等差数列，又b1=1，
其公差为d，则b4=b1+3d，代入解得d=2。
所以数列{bn}是以b1=1为首项，2为公差的等差数列，即其通项公式为bn=1+2(n-1)=2n-1。
(2)Cn=1/bnb(n+1)=1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
Tn=c1+c2+...cn=1/2[1-1/3+1/3-5/1+....1/(2n-1)-1/(2n+1)]=1/2[1-1/(2n+1)]<1/2