Question

已知三角形的三边长为a、b、c,判断方程a²x²-(c²-a²-b²)x+b²=0有无实根

Answer 1

解：
判别式Δ=[-(c²-a²-b²)]²-4a²b²
=(a²+b²-c²)²-(2ab)²
=(a²+b²-c²-2ab)(a²+b²-c²+2ab)
=[(a-b)²-c²][(a+b)²-c²]
=(a-b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a+b-c)
∵a,b,c为三角形的三边，且两边之和大于第三边
∴a-b-c<0 a-b+c>0 a+b+c>0 a+b-c >0
∴Δ=(a-b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a+b-c)<0
∴方程没有实数根

Answer 2

△=(c²-a²-b²)²-4a²b²
=(c²-a²+2ab-b²)(c²-a²-2ab-b²)
=[c²-(a²-2ab+b²)][c²-(a²+2ab+b²)]
=[c²-(a-b)²][c²-(a+b)²]
=(c+a-b)(c-a+b)(c-a-b)c+a+b)

三角形两边之和大于第三边
所以c+a-b>0
c-a+b>0
a<a+b,所以c-a-b<0

边长是正数
所以c+a+b>0
四个括号中三正一负
所以乘积是负数
△小于0
所以没有实数根

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