Question

在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=？

Answer 1

解：如果三角形是锐角三角形，高AD和BE在三角形内部

∵AD⊥BC，BE⊥AC

∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90

∴∠CAD+∠C＝90, ∠CBE+∠C＝90

∴∠CAD＝∠CBE

∵BH＝AC

∴△ACD≌△BHD  （ASA）

∴AD＝BD

∴∠ABC＝45°

当∠ABC是钝角时：

解：

∵AD⊥BC，BE⊥AC

∴∠ADB＝∠HDC＝∠BEA＝90

∴∠CAD+∠C＝90, ∠CAD+∠H＝90

∴∠C＝∠H

∵BH＝AC

∴△ACD≌△BHD  （ASA）

∴AD＝BD

∴∠ABD＝45°

∴∠ABC＝180-∠ABD＝135°

 

Answer 2

解：
∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90
∴∠CAD+∠C＝90, ∠CBE+∠C＝90
∴∠CAD＝∠CBE
∵BH＝AC
∴△ACD≌△BHD （ASA）
∴AD＝BD
∴∠ABC＝45°

另一个，当∠ABC是钝角时：
解：
∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠ADB＝∠HDC＝∠BEA＝90
∴∠CAD+∠C＝90, ∠CAD+∠H＝90
∴∠C＝∠H
∵BH＝AC
∴△ACD≌△BHD （ASA）
∴AD＝BD
∴∠ABD＝45°
∴∠ABC＝180-∠ABD＝135°