Question

已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，且4a1，3a2，2a3成等差数列，则Sn/an-3的最大值是

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Answer 1

a(n)=q^(n-1), q不为1。 s(n) = [1-q^n]/(1-q).
6a(2)=6q= 4a(1)+2a(3)=4 + 2q^2,
0 =q^2 - 3q + 2 = (q-2)(q-1),
q=2.
a(n)=2^(n-1), s(n)=2^n - 1.

f(n) = s(n)/[a(n)-3] = (2^n - 1)/[2^(n-1) - 3] =[2*2^(n-1) - 6 + 7]/[2^(n-1) - 3]
= 2 + 7/[2^(n-1) - 3],
1<=n<=2时，2^(n-1)-3<0,
n>=3时，2^(n-1)-3>0, f(n)=2 + 7/[2^(n-1) - 3]单调递减，f(n)<=f(3),
f(3)=2 + 7/[2^2 - 3] = 9,
f(2)=2 + 7/[2-3] = -5 < 9 = f(3).
f(1)=2 + 7/(1-3)=-3/2<9 = f(3).
所以s(n)/[a(n)-3]的最大值为9。