Question

已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列．（1）求等比数

已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列．（1）求等比数列{an}的通项公式．（2）对n∈N+，在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记插入的这n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差数列，
∴a₅+S₅-（a₄+S₄）=a₆+S₆-（a₅+S₅），
∴2a₅-a₄=2a₆-a₅，
∴2a₆-3a₅+a₄=0．
∵数列{a_n}为等比数列，
∴a₅=a₄q，a₆=2a₄q²，
∴2q²-3q+1=0，
∴（2q-1）（q-1）=0．
∵数列{a_n}公比不为1，
∴q=

1

2

．
∴a_n=2×(

1

2

)n?1，
∴a_n=（

1

2

）^n-2．
∴等比数列{a_n}的通项公式：a_n=（

1

2

）^n-2．
（2）由（1）知：an+1＝(

1

2

)n?1．
对n∈N₊，在a_n和a_n+1之间插入n个数，分别记为：c₁，c₂，c₃，…c_n，
使得：a_n，c₁，c₂，c₃，…c_n，a_n+1成等差数列，
则b_n=

(c1+cn)n

2

=

(an+an+1)n

2

=

3n

2n

．
∵数列{b_n}的前n项和为T_n，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
∴T_n=3×（

1

2

）+6×（

1

2

）²+9×（

1

2

）³+…+

3n

2n

．…①

1

2

T_n=3×（

1

2

）²+6×（

1

2

）³+9×(

1

2

)4…+

3n

2n+1

．…②
由①-②得：

1

2

T_n=3×（

1

2

）+[3×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+3×(

1

2

)4…+

3

2n

]-

3n

2n+1

．…②
=

3 2 (1? 1 2n )

1? 1 2

-

3n

2n+1

．
∴T_n=6-

3n+6

2n

，n∈N^*．
∴数列{b_n}的前n项和为：T_n=6-

3n+6

2n

，n∈N^*．