Question

数论奇偶性

在黑板写下数字1,2,3,…,2014，任意擦去两个数并用它们的和或差代替，经过有限次操作，使得黑板上只剩下一个数，求证：这个数不能为0。

Answer 1

证明：根据题意得到，
两个数无论是奇数，还是偶数。必定有这样一个规律，
它们之和是偶数，它们只差必定是偶数；
它们之和是奇数，它们只差必定是奇数；
令S(N)表示N的奇偶属性。N为奇数 则S(N)=奇数，N为偶数 则S(N)=偶数
S(A+B)=S(A-B)

所以第i次操作后，写上的数M 一定等于已经抹去的数之和的属性。
S(M) =S( 已经抹去数求和)
所以反复按照题中的要去操作，最后的数必定与所有数之和的奇偶性是一样的。
1+2+3+。。。+2014= 2014*（2014+1）=1007*2015 =2029105 这个数是奇数。
当完全抹去后写上的数M，则S(M)= S(2029105)=奇数
所以无论怎么操作最后的数是奇数，而0是偶数，所以最后的数一定不为0.

Answer 2

我这里来给题目做一个说明：

上面的题目等价于证明：
把1.2....2014分成两个部分A,B,这两个部分里所有数的和SA,SB不可能相等.
因此我们可以通过反证.
假设可以，则SA+SB=1+2+....+2014，SA=SB
那么必然有SA=SB=(SA+SB)/2=(1007*2015)/2
又SA=SB是整数，上面的结果不是整数，矛盾，因此不可能为0.
奇偶性主要是用在最后一个计算上。