Question

已知sinx+siny=√2／2，则cos(x-y)的取值范围是什么？

网上都说是[-1,1]，为什么啊
x-y不会有取值范围吗？

Answer 1

没有那么简单的。
设t = x-y，则 x = y+t，需要求cos(t)的值域范围。
代入等式：sin(x)+sin(y)=√2/2
===> sin(t+y) + sin(y) = √2/2
===> sin(t)cos(y) + [1+cos(t)] sin(y) = √2/2
一定存在u,使得u满足: sin(u) = sin(t) / √ { sin^2(t) + [1+cos(t)]^2 }
cos(u) = [1+cos(t)] / √ { sin^2(t)+[1+cos(t)]^2 }
代入上式后可转换为：
===> sin(u)cos(y) + cos(u)sin(y) = (√2/2) / √ { sin^2(t)+[1+cos(t)]^2 }
===> sin(u+y) = (√2/2) / √{ sin^2(t)+[1+cos(t)]^2 }
上式中，只要等式右侧≤1，那么y一定有解，于是：
===> (√2/2) / √ { sin^2(t)+[1+cos(t)]^2 } ≤ 1
===> √{ sin^2(t)+[1+cos(t)]^2 } ≥ (√2/2)
===> sin^2(t)+[1+cos(t)]^2 ≥ 1/2
===> cos(t) >= －3/4
因此最终解为: －3/4 ≤ cos(x-y) ≤ 1

Answer 2

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]=√2／2
sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]==√2／4
这样就看清楚了。。。

追问

然后呢？

追答

然后就清楚了，sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]==√2／4，说明sin[(x+y)/2]和cos[(x-y)/2]都是有界函数
因为cos2x=2cosx^2-1，所以cos(x-y)也是有界的，且就能同理看出
cos(x-y)的取值范围是[-1,1]

追问

什么是有界函数？怎么看出来的？

Answer 3

因为x、y两个自变量无关联。

追问

已知条件不会影响x和y的取值吗？

追答

不会。

追问

汗别光说答案啊，能不能详细解释一下？

Answer 4

看图定义域是R

追问

能说清楚点吗

Answer 5

x、y两个自变量无关联。