Question

已知f(x)=1/1+x.各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f(an).若a2010=a2012,则a20+a11的值是?

当n为奇数时，由递推关系得：
a3=1/2，a5=2/3，a7=3/5,a9=5/8,a11=8/13
又a2010=a2012=1/（1+a2010）
当n为偶数时，
a2=a2010=a2012
其值为方程x1/(1+x）
即x^2+x-1=0
∴x=（-1±根号5）/2
又数列为正数数列，
∴a20=（-1+根号5）/2
∴a20+a11=（13跟号5+3）/26

请问:为什么a2010=a2012=1/（1+a2010）,就能得出偶数项都相等.谢谢指教.

Answer 1

这太简单，你可能多想了吧
a2012= 1/(1+a2010) (1)
a2010 = 1/(1+a2008) (2)
from (2)
a2012 = 1/(1+a2008) (3)
from (1) and (3)
a2012 = a2008
Inductively
a2=a4=a6=....a2n