Question

AB两数都只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，A有12个约数，B有10个约数，AB的和是多少？

AB两数都只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，A有12个约数，B有10个约数，AB的和是多少？

Answer 1

A = 3^x * 5 ^ y
B = 3^r * 5 ^ n

由A，B的约数个数得到等式:
(x+1)*(y+1)=12 ... 1)
(r+1)*(n+1)=10 ... 2)

由它们最大公约数为75=3^1 * 5^2得到:
3^(x-1)*5^(y-2) 与 3^(r-1)*5^(n-2) 互质

通过尝试1)，可以看到A可能取值为:
3^1 * 5^5 ... a)
3^2 * 5^3 ... b)

通过尝试2), 可以看到B的可能取值是:
3^1 * 5^4 ... c)

从而由上述条件，数字b) 和数字c)满足AB需求，所以A = 3^2 * 5^3 B=3^1 * 5^4
求和即可。