Question

已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=2an+1(n∈N*).证明1/a2+1/a3+1/a4+.....+1/an+1<2/3

Answer 1

a2=2a1+1=3 a3=2a2+1=7
a(n+1)=2an+1a(n+1)>2an a2>2a1 1\a2<1\2
1\a3<1\4 1\a4<1\8...........................1\an<1\(2)n-1 1\a(n+1)<1|(2)n
原式《1|3+1\7+1\8+1\16+.............+1\(2)n<2\3
__等比数列__________________

Answer 2

解：由a1=1,a(n+1)=2an+1(n∈N*),得
a(n+1)+1=2(an+1)(n∈N*)，an＞0
∴ {an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列
则 an+1=2^n，an=2^n-1(n∈N*)
n＞2时，an=2^n-1=(1+1)^n-1
=C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+…+C(n-2,n)+C(n-1,n)+C(n,n)-1
＞n(n+1)＞0
1/an＜1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
故 1/a2+1/a3+1/a4+.....+1/an+1＜1/3+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+…+[1/n-1/(n+1)]
=2/3-1/(n+1)＜2/3

追问

1/an＜1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)

1/a2=1/3 1/[2*3]=1/6 1/3<1/6???????

追答

n＞2，不包括a2的

追问

1/a3=1/7 1/[3*4]=1/12 1/7<1/12?????

Answer 3

a（n+1）=2an+1
a（n+1）+1=2（an+1），a1+1=2
∴an+1是首项为2，公比为2的等比数列。
an+1=2ⁿ，则an=2ⁿ-1.
1/a2+1/a3+....+1/a（n+1）
=1/（4-1）+1/（8-1）+1/（16-1）+1/（32-1）+1/（64-1）.....+1/（2×2ⁿ-1）
＜1/（4-1）+1/（8-1）+1/（16-1）+1/（32-1）+1/32....+1/2ⁿ（从第5项开始放大）
=1/3+1/7+1/15+1/31+（1-1/2ⁿ-1/2-1/4-1/8-1/16）
=1/3+1/7+1/15+1/16-1/2ⁿ
＜1/3+1/3-1/2ⁿ
=2/3-1/2ⁿ
＜2/3
综上，命题得证。