Question

已知向量a=(2sinx,根号3cosx),b=(sinx,2sinx),函数f(x)=a·b

若不等式f(x)≥m对x属于【0，π/2】都成立，求实数m的最大值。

Answer 1

解：f(x)=向量a.向量b
=2sin^2x+√3*2sinxcosx.
=1-cos2x+√3sin2x.
=2(√3/2*sin2x-1/2*cos2x)+1.
=2[sin2xcos(π/6)-cos2xsin(π/6)]+1.
=2sin(2x-π/6)+1.
欲使 f(x)≥m,在x∈[0,π/2}恒成立，即2sin(2x-π/6)+1≥m,则“≥"左边的函数值应取最大值。
∵sinx在[0,π/2]内是增函数，∴当x=π/2时，左边函数值最大。
将x=π/2 代入f(x)=2sin(2x-π/6) 中，得：
2sin(2*π/2-π/6)+1≥m.
2sin(π-π/6)+1 ≥m.
2sin(π/6)+1≥m.
2*(1/2)+1≥m.
m≤2.
∴m(max)=2. （即m的最大值是2.
【注意：不能用sin(2x-π/6)=1取最大值，因为此时2x-π/6=π/2, x=2π/3. 超出x∈[0,π/2]的范围】
πππππ

Answer 2

f(x)= 2(sinx)^2 +2根号3sinxcosx = 1-cos2x + 根号3sin2x = 1+2sin(2x-t)
其中t=arcsin(0.5) =pi/6
显然f(x)最大值在2x-t = pi/2时取得，此时x=pi/4 +pi/12 = pi/3取得，最大值为3
最小值在x=0时取得，此时最小值为1/2
要想等式恒成立，m必须小于最小值，所以m最大为1/2

追问

这个方法暂时还没学，但是为什么三位结果都不一样？

Answer 3

f(x)=2sin^2x +2sinx*根号3cosx=1-cos2x+根号3 sin2x=2sin(2x-π/6)+1属于[0,3] 所以m的最大值：0