Question

若F1，F2是椭圆 x2/a+ y2/b=1 (a>2b>0)的两个焦点，分别过F1，F2作倾斜角为45度的两条直线与椭圆相交于四

若F1，F2是椭圆 x2/a+ y2/b=1 (a>2b>0)的两个焦点，分别过F1，F2作倾斜角为45度的两条直线与椭圆相交于四点，以该四点为顶点的四边形和以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积比等于2√2/3，则该椭圆的离心率是——

Answer 1

设过F且倾斜角是45度的一条直线方程是y=x+c.
代入到椭圆方程中有(y-c)^2/a^2+y^2/b^2=1
b^2(y^2-2cy+c^2)+a^2y^2=a^2b^2
(a^2+b^2)y^2-2b^2cy+b^2c^2-a^2b^2=0
y1+y2=2b^2c/(a^2+b^2)
y1y2=b^2(c^2-a^2)/(a^2+b^2)=-b^4/(a^2+b^2)
(y1-y2)^2=4b^4c^2/(a^2+b^2)^2+4b^4/(a^2+b^2)=(4b^4(a^2-b^2)+4b^4(a^2+b^2))/(a^2+b^2)^2=8a^2b^4/(a^2+b^2)^2
|y1-y2|=2根号2ab^2/(a^2+b^2)
故以以该四点为顶点的四边形的面积S1=F1F2*|y1-y2|=2c*2根号2ab^2/(a^2+b^2)
和以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积是S2=2ab
比等于2√2 /3，即有S1/S2=2根号2bc/(a^2+b^2)=2根号2/3
bc/(a^2+b^2)=1/3
(b^2+c^2+b^2)=3bc
2b^2-3bc+c^2=0
(2b-c)(b-c)=0
2b=c,b=c
a^2=b^2+4b^2=5b^2或a^2=b^2+b^2=2b^2,与a>2b不符合,故舍.
故有a^2=5b^2=5/4c^2
e^2=c^2/a^2=4/5
e=2根号5/5.

Answer 2

嘿嘿，等下发图