Question

请教一个无穷小量运算的问题

数二复习全书上讲泰勒公式的那章，90页上面有无穷小量运算的规律（其中^表示上标，如
(x-a)^n表示(x-a)的n次方）
规律是这样写道：(x-a)^n·o( (x-a)^m) = o( (x-a)^(m+n ) ),

但是在94页左上角有个评注里面，却写着[x- 1/6 x^3 + o(x^3)]^2 = x^2 + o(x^3),想不通为什么是o(x^3)，而不是o(x^4)，因为如果把上面的多项式乘出来，不是有个x·o(x^3)=o(x^4),而且其他的乘积都是比x^4同阶或高阶的，那结果应该是 x^2 - 1/3 x^4 + o(x^4)啊

再有96页坐上评注里面[1/2 t^2 + o(t^2) ]^2却等于1/4 t^4 + o(t^4)

真的想不通啊,请高手求教啊，

Answer 1

x^4为o(x^3)
x^2为领头阶，如果只保留领头阶，则答案为 x^2 + o(x^3)
对于x较小时，没必要保留到x^4。
后者t^4为领头阶，需要保留

追问

那如果不只保留领头阶，x^2 - 1/3 x^4 + o(x^4)是对的么？
还有。什么叫做x较小时啊，上面这个根本没说x怎么怎么小啊

追答

是对的
这里计算的是无穷小量，x自然只需要保留到领头阶