Question

证明：图像关于y=x 对称的俩函数互为反函数

Answer 1

设其中一个是y关于自变量x的函数y=f(x)，其定义域为A，值域为C。那么y=f(x)图象上的任意一点经过y=x的对称后总落在另外一个函数图象上，也就是说，对于另外这个函数，y在C中的任意一个值，总有x在A中唯一确定的值与之对应，实际上可以依据函数的定义将这种对应关系表示为x关于y的函数x=g(y)，此时这个函数的定义域变成了C，而值域则是A。按照反函数的定义，这里y=f(x)和x=g(y)就是一对原函数与反函数。值得注意的是，本命题的前提给定了这两个图象都是函数图象，而不是广义的曲线。事实上，并非所有的函数都有反函数相对应，比如偶函数（图象关于y轴对称的函数）就没有反函数，因为偶函数关于y=x对称的图象不能成为函数（出现了一对多的对应形式）。