Question

如图，在RT三角形ABC中，角C等于90度,角B=30度，AD平分角BAC，求证AC=二分之一AB

Answer 1

证：在直角三角形ACD中，CD/AC=tan30° =√3/3， CD=√3/3AC
在Rt△ACB中，BC/AC=tan60°=√3, BC=√3AC.
由角平分线性质，得：CD/DB=AC/AB. DB=BC-CD=(√3-√3/3)AC=(2√3/3)AC.
(√3/3)*AC/[(2√3/3)AC=AC/AB.
AC/AB=1/2.
∴AC=(1/2)AB.
证毕。

Answer 2

证明：过点D作DE⊥AB于E
∵∠C＝90, ∠B＝30
∴∠BAC＝180-∠C-∠B＝60
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC/2＝30
∴∠BAD＝∠B
∴BD＝AD
∵DE⊥AB
∴AE＝BE＝AB/2（三线合一），∠AED＝∠C＝90
∵AD＝AD
∴△ACD≌△AED （AAS）
∴AC＝AE
∴AC＝AB/2