Question

证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约

Answer 1

方便起见, 不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约.
用反证法, 假设f(x) = g(x)h(x), 其中g(x), h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式.
由Gauss引理, 不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.
依次带入x = 1, 2,..., n, 可知g(k)h(k) = f(k) = -1, 对k = 1, 2,..., n.
而g(k)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是±1.
且g(k) = 1时h(k) = -1, 而g(k) = -1时h(k) = 1.
因此总有g(k)+h(k) = 0, 对k = 1, 2,..., n.
多项式g(x)+h(x)有n个不同的根, 但其次数 < n (g(x)与h(x)的次数都小于n),
于是g(x)+h(x)恒等于0, 但这与g(x), h(x)的最高次项系数为1矛盾.
所以f(x)不可约.