Question

设p为素数，证明: 多项式f(x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……+x^p/p! 在Q[x]上不可约。

Answer 1

x^2+p的两个根是±√p,将这两个值带入第一个多项式x^p+px+p,发现都不为0.
这说明x-√p和x+√p都不是x^p+px+p的因式,所以x^p+px+p不含有x^2+p的任何因式作为它的因式.
这就说明这两个多项式互素,即它们的最大公因式是1.
另外,如果你知道Eisenstein判别法的话,那么容易判别出这两个多项式都是不可约多项式（整系数多项式环上的）,这足以说明这两个多项式是互素的.这是第二种解法.

Answer 2

你把它每一项都乘以p！即把它化成整系数多项式：p！+p！x+（p！/2！）x^2+…+x^p，用艾森斯坦因判别法：找一个素数q，若q不整除最高次项系数，且q整除除了最高次项以外每一项系数（包括常数项本身），且q^2不整除常数项，则这个整系数多项式在有理数域上不可约。这道题在把原多项式变成上述整系数多项式后，取q为p，恰好满足判别法条件，就证明不可约了。

Answer 3

x^2+p的两个根是±√p,将这两个值带入第一个多项式x^p+px+p,发现都不为0.
这说明x-√p和x+√p都不是x^p+px+p的因式,所以x^p+px+p不含有x^2+p的任何因式作为它的因式.
这就说明这两个多项式互素即它们的最大公因式是1.

Answer 4

引用北风胡晓的回答：
x^2+p的两个根是±√p,将这两个值带入第一个多项式x^p+px+p,发现都不为0.
这说明x-√p和x+√p都不是x^p+px+p的因式,所以x^p+px+p不含有x^2+p的任何因式作为它的因式.
这就说明这两个多项式互素,即它们的最大公因式是1.
另外,如果你知道Eisenstein判别法的话,那么容易判别出这两个多项式都是不可约多项式（整系数多项式环上的）,这足以说明这两个多项式是互素的.这是第二种解法.

这个最佳答案写的和题目好像没什么关系啊？