Question

微分方程初始条件

微分方程中初始条件y(-2)=1的意思是x=-2时y=1，但是方程中没有x怎么办？该如何理解呢？
比如2y''=3y^2 且y(-2)=1，y‘(-2)=1，式子中没有x

Answer 1

2y''=3y^2
设y'=p
y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
所以2pdp/dy=3y^2
即p^2=y^3+C

在这里，只要将y=1，p=1代入即可，不必管x
即C=0
即y'=±y^(3/2)
同时注意到y'与y同号，便得到y'=y^(3/2)
dy/y^(3/2)=dx
-2y^(-1/2)=x+C'
这时再代入x=-2,y=1，得到
C'=0

因此通解为x-2y^(-1/2)=0

追问

这里是说无论x取多少都不用管？可如果给出y(-1)=2,y(-2)=1这样，x取值不同，y的值也不同，该如何处理？

追答

那样就解不出来。

追问

无论x取多少都不用管，直接将y的值带入？

Answer 2

y''是x的二阶导函数，当然有自变量x，不过是隐含的，需要解出来再带

Answer 3

2y''=3y^2式子中 虽说没有x但我们可以从y(-2)=1，y‘(-2)=1中得到当x=-2时y=1且y‘=1 即 y=1时y‘=1
x就是y与y'之间联系的桥梁