一道高等数学微分中值定理的题
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∵f(x)在[0,1]上有三阶导数
∴F(x)在[0,1]上三阶可导
∵F(0)=F(1)=0
∴存在ξ1∈(0,1)，使得F'(ξ1)=0
F'(x)=2xf(x)+x²f'(x)
∵F'(0)=F'(ξ1)=0
∴存在ξ2∈(0,ξ1)，使得F''(ξ2)=0
F''(x)=2f(x)+2xf'(x)+2xf'(x)+x²f''(x)
∵F''(0)=F''(ξ2)=0
∴存在ξ∈(0,ξ2)(包含于(0,1))，使得F'''(ξ)=0
∴F(x)在[0,1]上三阶可导
∵F(0)=F(1)=0
∴存在ξ1∈(0,1)，使得F'(ξ1)=0
F'(x)=2xf(x)+x²f'(x)
∵F'(0)=F'(ξ1)=0
∴存在ξ2∈(0,ξ1)，使得F''(ξ2)=0
F''(x)=2f(x)+2xf'(x)+2xf'(x)+x²f''(x)
∵F''(0)=F''(ξ2)=0
∴存在ξ∈(0,ξ2)(包含于(0,1))，使得F'''(ξ)=0
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