Question

已知f(x)是定义在(0,+∞)的函数，且对任意正数x,y都f(xy)=f(x)+f(y),且当x＞1时，f(x)＞0

(1)证明f(x)在(0,+∞)上为增函数；
(2)若f(3)=1,集合A={x|f(x)＞f(x-1)+2},B={x|f([(a+1)x-1]/[x+1])＞0，a∈R},A∩B=∅，求实数a的取值范围。

Answer 1

(1)证明：令b>a>0,则f(b)=f(a*b/a)=f(a)+f(b/a)
而b>a>0,则b/a>1,f(b/a)>0故f(b)-f(a)=f(b/a)>0，即证
（2）f(x)是定义在(0,+∞)的函数，故集合A中x-1>0,即x>1
那么f(x)>f(x-1)+2=f(x-1)+f(3)+f(3)=f[9(x-1)]，而f(x)为增函数，故x>9(x-1),即A={x|1<x<9/8}
同理对集合B有[(a+1)x-1]/[x+1]>0 ①
f([(a+1)x-1]/[x+1])＞0=f(3)-f(3),即f([(a+1)x-1]/[x+1])+f(3)>f(3)，3*([(a+1)x-1]/[x+1])>3 ②
联立①、②有([(a+1)x-1]/[x+1]>1,(ax-2)/(x+1)>0,
当-2<a<0时，B={x|2/a<x<-1} ③
当a<-2时，B={x|-1<x<2/a} ④
当a=-2时，B=∅; ⑤
当a=0时，B={x|x>-1} ⑥
当a>0时，B={x|x<-1或x>2/a} ⑦
AB交集为空，那么a取值范围是a<0或0<a≤16/9