Question

几何分布的期望与方差公式怎么推导

Answer 1

Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ
=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ
=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)
=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ
因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ
所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2
而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)
所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2
下面计算几何分布的学期望，
Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p
Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p ①
当然
(1-p)*Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^ξ*p
(1-p)*Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ②
①－②得
p*Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)*p
所以
Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)
=∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1)
=lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p
=1/p
若要计算方差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算，
其中E(ξ^2)的计算过程如下：
E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p －∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ①
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^ξ*p
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)*p ②
由①得

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ③
③－②得
p*E(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ④
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^ξ
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1) ⑤
由④得
E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ⑥
⑥－⑤得.
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1).
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*lim{x→∞}(1-p)^2*[1-(1-p)^x]/p.
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*(1-p)^2/p.
E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)/p＋2*(1-p)^2/p/p
=1/p＋2*(1-p)/p/p
=(2-p)/p/p
若求方差，根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2得，.
Dξ =(2-p)/p/p－1/p/p
=(1-p)/p^2

Answer 2

证明：Eξ=p 2qp 3q�0�5p … k[q^(k-1)]p …=p(1 2q 3q�0�5 …) 设S<n>=1 2q 3q�0�5 … nq^(n-1)， 则由qS<n>=q 2q�0�5 … (n-1)q^(n-1) nq^n 两式相减，得(1-q)S<n>=1 q q�0�5 … q^(n-1)-nq^n 故S<n>=(1-q^n)/(1-q)�0�5-nq^n/(1-q)，则 S=lim<n→∞>S<n>=1/(1-q)�0�5=1/p�0�5，即Eξ=1/p E(ξ�0�5)=p 2�0�5qp 3�0�5q�0�5p … k�0�5[q^(k-1)]p … =p[1 2�0�5q 3�0�5q�0�5 … k�0�5q^(k-1) …] 对于上式括号中的求和，利用导数对q求导，即 k�0�5q^(k-1)=(kq^k)`,有 1 2�0�5q 3�0�5q�0�5 … k�0�5q^(k-1) … =(q 2q�0�5 3q�0�6 … kq^k …)`(与求Eξ同样方法，得到) =[q/(1-q)�0�5]` =[(1-q)�0�5-2q(1-q)(-1)]/(1-q)^4 =(1 q)/(1-q)�0�6 =(2-p)/p�0�6 因此E(ξ�0�5)=p[(2-p)/p�0�6]=(2-p)/p�0�5 则Dξ=E(ξ�0�5)-(Eξ)�0�5=(2-p)/p�0�5-(1/p)�0�5=(1-p)/p�0�5