Question

同济6版高数里的疑问

同济6版高数P201的例21 不讨论被积函数的定义域，而例23 却要讨论?

Answer 1

在例21里，被积函数是√（a²-x²），令x=asint，因为（a²-x²）>=0,所以a>=|x|就可以了
，而sint在[-π/2,π/2]（刚好一个周期）的取值范围是[-1,1],换元后|x|<=a,所以，这个换元恒成立。

在例23，是1/√（x²-a²）,要求|x|>a,令x=asect(0<t<π/2)（半个周期），因为周期中存在间断点，不能直接取到一个周期，而另半个周期和前半个周期的取值是相反数，所以，又另作讨论当x<-a时，
x=-u,这样，换元变成u，u=asect,这里t的范围也是（0<t<π/2)。
其实如果一开始就令t的取值范围是(0,π/2)∪(π/2,π),就不必讨论后面的的x<-a的情况了。