Question

牛顿的牛吃草问题

牛顿编有一道著名的牛在牧场上吃草的题：有一片牧场如果放牧27头牛，6个星期可以把草吃光；如果放牧23头牛，9个星期可以把草吃光；如果放牧21头牛，几个星期可以把草吃光呢？

Answer 1

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
　　（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
　　（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
　　（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
　　（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
　　这四个公式是解决消长问题的基础。
　　由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
　　解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
　　这类问题的基本数量关系是：
　　1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。
　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

Answer 2

英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”。
“牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”
这类题目的一般解法是：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：
（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162
（这162包括牧场原有的草和6天新长的草。）
（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207
（这207包括牧场原有的草和9天新长的草。）
（3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15
（4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
（5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草： 72÷（21－15）＝72÷6＝12（天）
所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

请你算一算。
有一牧场，如果养25只羊，8天可以把草吃尽；养21只羊，12天把草吃尽。如果养15只羊，几天能把牧场上不断生长的草吃尽呢？

Answer 3

Answer 4

假设每头每周吃1个单位的草量。
27×6＝162　这是原有草量＋6周的生长量
23×9＝207　这是原有草量＋9周的生长量
（207－162）÷（9－6）＝15　这是草每周的生长量，这个数量可供15头吃一周，所以可以安排15头专门吃这个草量。
162－15×6＝72　这是原有草量
72÷(21-15)＝12个星期　这是问题答案。

Answer 5

草还会长出来呀！
怎么可能吃光呢？》？