Question

设f(x)=a[log2(x)]^2+blog4(x)^2+1(a,b为常数).当x>0时，F(x)=f(x),且F(x)为R上的奇函数。

(1).若f(1/2)=0,且f(x)的最小值为0，求F(X)的表达式(2).在(1)的条件下，g(x)=(f(x)+k-1)/log2(x)在[2，4]上是单调函数，求k的取值范围

Answer 1

解:(1)因为f(x)=alog�0�52(x)+blog2(x)+1令log2(x)=t所以原函数可以转化为h(t)=at�0�5+bt+1因为当x=1/2时t=log2(1/2)=-1由f(1/2)=0可知h(-1)=0,所以a-b+1=0①又因为h(t)是一个开口向上的二次函数,且h(t)min=0所以h(t)的对称轴x=-b/2a=-1，即使b=2a②由①②解得a=1 b=2所以当x>0时F(x)=f(x)=log�0�52(x)+2log2(x)+1因为F(X)是定义在R上的奇函数，所以F(0)=0当x<0时 F(x)=-F(-x)(这个F(x)是x>0的解析式)所以F(x)=-log�0�52(-x)-2log2(-x)-1所以F(x)=log�0�52(x)+2log2(x)+1(x>0).....F(X)=0(x=0)....F(x)=-log�0�52(-x)-2log2(-x)-1(x<0)(2)因为g(x)=(log�0�52(x)+2log2(x)+1+k-1)/log2(x)=k/log2(x)+log2(x)+2令m=log2(x), 因为x∈[2,4],所以m=log2(x)∈[1,2]所以g(x)转化为q(x)=k/m+m+2（m∈[1,2])因为q'(x)=1-k/m�0�5因为q(x)在[1，2]上是单调函数，所以q'(x)在[1,2]上恒不小于0或不大于0(i)当q'(x)在[1,2]上恒不小于0,即q(x)在[1,2]单调递增,所以1-k/m�0�5≥0 推出(m�0�5-k)m�0�5≥0因为m�0�5恒大于0,所以m�0�5-k≥0推出k≤m�0�5因为m�0�5在[1,2]的取值范围是m�0�5∈[1,4],所以k≤1(ii)当q'(x)在[1,2]上恒不大于0,即q(x)在[1,2]单调递减,同理可得k≥4所以k的取值范围为k∈(-∞,1]∪[4,+∞)