Question

为什么能通过对导函数积分求得原函数？

积分不是微分的逆过程吗？为什么不是对函数的微分进行积分呢？还是说导函数就等于函数的微分呢？没分了，各位大哥大姐帮个忙。。。

Answer 1

问得好！

这个问题看上去是一个很简单的问题，甚至会引起一些人的嘲笑。
其实，本题问得非常深刻，涉及到好几个方面的问题，简答如下：

1、首先涉及的是语言问题，与语言的翻译问题。
我们将calculus翻译成《微积分》，differentiation翻译成《微分》，
integration翻译成《积分》。仅仅凭词义、词性，凭语言的精炼、
对仗等，无论英语还是汉语，都说得过去，无可挑剔。

但是按内容分析，就出了问题。积分是对函数积分，结果是一个
函数，记为f(x)、g(x)、、、，而微分也是对一个函数微分，可是
结果却是无穷小，记为f(x)dx、g(x)dx、、、，积分的结果并不是
无穷小！

这个问题在英语中并不存在，只是汉语的问题。因为differentiation，
在英文中既有微分的含义，又有导数的含义，可微就是可导，可导
就是可微，都是differentiable。我们的汉语教科书中，对于多元函
数，我们作了硬性规定，可微是指各个方向，所有方向可导才算是
可微，而英文中用了differentiable，后面注明方向就没有任何语义
含糊。在使用differentiation时，英文是语义双关的，可能是我们所
说的导数，也可能是我们所说的微分，例如total differention是全
微分；partial differentiation是偏导数。

2、其次涉及的是逻辑问题。
我们平时的说法总是将微分、积分相提并论，也就是说，我们的本
能意识是，微分跟积分是相对应的概念，是逻辑上对称的概念，是
彼此corresponding的概念。事实上，我们汉语中与积分对应的概念
应该是导函数，这一点楼主已经深深意识到了，并且提出了质疑，
这一点是非常难能可贵的，因为我们的文化没有丝毫建立定量理论
体系的痕迹，我们只有歌颂、宣传的习惯，没有质疑精神，也不允
许质疑，更不许挑战传统文化。导数概念本身，我们也是模棱两可、
语焉不详的，导数既可指导函数，也可以指导函数的值，所以导数
就更不可能得到与积分相配的“待遇”。所以，我们在逻辑上就混乱
了，我们用无限小概念的微分，与既不是无穷小也不见得是无穷大
的积分与之对应。求导对应的是积分，而不是求积；而积分对应的
概念不是求导，而是微分，这是一场三角恋爱的游戏。

不多说了，写得太多了，会引起政治觉悟高的同志的不快。

欢迎追问，或私信。

Answer 2

∫f'(x)dx = f(x) + C