Question

已知数列{an}满足a1=1,an+1=Sn+(n+1)(1)求an和sn

Answer 1

解：已知（an+1）=sn+ (n+1)
所以an=(sn-1)+n 两式作差得 (an+1)-an=an+1
即(an+1)=2an+1
证明{(an)+1}是等比数列，证明如下：
由（1）结论得 (an+1)+1=2an+2=2[(an)+1]
即 [(an)+1]/[(an)+1]=2
所以{(an)+1}是以2为公比的等比数列
得（an）+1=[(a1)+1]*2的n-1次方
即(an)=[(a1)+1]*2的n-1次方-1 =2的n次方-1
所以sn={2(1-2的n次方）/(1-2)}-n=2的(n+1)次方-2-n

Answer 2

a(n+1)=Sn+(n+1)，
——》an=S(n-1)+n，
——》a(n+1)-an=Sn+(n+1)-S(n-1)-n=an+1，
——》a(n+1)+1=2an+1+1=2(an+1)，
设数列bn=an+1，则：b(n+1)/bn=2，
数列{bn}为等比数列，b1=a1+1=2，q=2，
即：bn=b1*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n，
——》an=bn-1=2^n-1，
Sn=a(n+1)-(n+1)=2^(n+1)-1-(n+1)=2^(n+1)-n-2。