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求数列 线性递推原理和公式

RTRT 求高手解答

Answer 1

【定义】
　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。
　　【缩写】
　　等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。
　　【等差中项】
　　由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。
　　有关系：A＝（a＋b）/2
　　【通项公式】
　　an=a1+(n-1)d
　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)
　　【前n项和】
　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
　　【性质】
　　且任意两项am，an的关系为：
　　an=am+(n-m)d
　　它可以看作等差数列广义的通项公式。
　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
　　am+an=ap+aq
　　Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
　　和＝（首项＋末项）×项数÷2
　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1
　　首项=2和÷项数-末项
　　末项=2和÷项数-首项
　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
等比数列　　【定义】
　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
　　【缩写】
　　等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。
　　【等比中项】
　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
　　有关系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2)
　　注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
　　【通项公式】
　　an=a1q^(n-1)
　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)
　　【前n项和】
　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
　　【性质】
　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
　　性质：
　　①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq；
　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
　　(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
一般数列的通项求法　　一般有：
　　an=Sn-Sn-1 （n≥2）
　　累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。
　　逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。
　　化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。
　　特别的：
　　在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n
　　2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
　　即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列
　　不动点法（常用于分式的通项递推关系）
数列前N项和公式的求法　　(一)1.等差数列:
　　通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数
　　an=ak+(n-k)d ak为第k项数
　　若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2
　　2.等差数列前n项和:
　　设等差数列的前n项和为Sn
　　即 Sn=a1+a2+...+an;
　　那么 Sn=na1+n(n-1)d/2
　　=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
　　还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法
　　(二)1.等比数列:
　　通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
　　an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
　　则an/am=q^(n-m)
　　(1)an=am*q^(n-m)
　　(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)
　　(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq
　　2.等比数列前n项和
　　设 a1,a2,a3...an构成等比数列
　　前n项和Sn=a1+a2+a3...an
　　Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)
　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
　　注: q不等于1;
　　Sn=na1 注:q=1
　　求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法