Question

已知直角三角形ABC的三边之和为2，那么△ABC的面积最大值为

Answer 1

令三角形的最短边为x，较长边为2-x-y，则最长边为y，那么△ABC的面积S为1/2*(2-x-y)*x=-1/2x^2=(1/2y-1)x,先把y当做一个常数，那么当x=-b/2a时，即x=1-1/2y时，S取得最大值。带入2-x-y，三角形的较长边也为1-1/2y，所以三角形是一个等腰直角三角形，三角形的最长边为根号2*（1-1/2y），根据三角形三边之和等于2，可求得y=2(根号2-1)，带入1-1/2y，得2-根号2，即S的最大值为3减去2倍根号2