Question

已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0

（山东 理16）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[–8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= 。 【解析】因为定义在R上的奇函数，满足f（x-4）=-f（x），所以f（4-x）= f（x）且f（0）=0，所以函数图象关于直线x=2对称。 由f（x-4）=-f（x），用（x-4）代换x，知f（x-8）= f（x），所以函数是以8为周期的周期函数，因为 f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以f（x）在区间[–2，0]上也是增函数，如下图所示。

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那么方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4。不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由对称性知x1+x2=-12，x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8。

【请问 解析中 “ 因为定义在R上的奇函数，满足f（x-4）=-f（x），所以f（4-x）= f（x）且f（0）=0，所以函数图象关于直线x=2对称。” 为什么？ 关于抽象函数对称轴问题有没有什么模板可言？当初听老师讲的时候隐约记得有个x=(a+b)/2...套用来好像又不对...求详解 然后“满足f（x-4）=-f（x）”而且必须是奇函数才能用x=(a+b)/2么 那偶函数何解？】

Answer 1

抽象函数对称轴问题f(m+x)=f(m-x)函数就关于x=m对称！可以从偶函数的图像平移来考虑！
f（4-x）= f（x）中设x=x+2就得到结论