Question

设函数f(x)=(x-1)e^x-kx^2 (1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间 (2)当k属于(1/2,1]时，求...

设函数f(x)=(x-1)e^x-kx^2 (1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间 (2)当k属于(1/2,1]时，求函数f(x)在[0,k]上的最大值M

Answer 1

设函数f(x)=(x-1)e^x-kx^2 (1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间 (2)当k属于(1/2,1]时，求函数f(x)在[0,k]上的最大值M
(1)解析：∵函数f(x)=(x-1)e^x-kx^2
令k=1==> f(x)=(x-1)e^x-x^2
令f’(x)=xe^x -2x=0==>x1=0，x2=ln2
f’’(x)=(1+x)e^x-2==> f’’(x1)=-1<0，f’’(x2)=2ln2>0
∴函数f(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值；
∴x∈(-∞,0)时，f(x)单调增；x∈[0,ln2)时，f(x)单调减；x∈[ln2,+∞)时，f(x)单调增；

(2)解析：∵f(x)=(x-1)e^x-kx^2
令f’(x)=xe^x -2kx=0==>x1=0，x2=ln(2k)
f’’(x)=(1+x)e^x-2k==> f’’(x1)=1-2k，f’’(x2)=2kln(2k)>0
∴函数f(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值；
∵k∈(1/2,1]时
∴函数f(x)在x=0处取极大值-1，在x=ln(2k)处取极小值kln(2k)-2k；
∵x∈[0,k]
f(k)=(k-1)e^k-k^3
当k=1时，f(1)=-1=f(0)
∴函数f(x)在[0,k]上的最大值M=f(k)=(k-1)e^k-k^3