Question

数学 余式定理 【求详细过程！】

1. 若f(x)=x³+x²+ax+b可被x-2整除，而被x+2除的余数为12，求方程式x³+x²+ax+b=0的根。
2. 已知f(x)=x³-2x²-x+2，求多项式g(x)=f(f(x))除以x-1所得的余式。

Answer 1

1. 若f(x)=x³+x²+ax+b可被x-2整除，则x=2时，f(x)=0，即8+4+2a+b=0

2. 而被x+2除的余数为12，则x=-2时，f(x)=12，即-8+4-2a+b=12

   ∴a＝﹣7,b=2.方程式x³+x²+ax+b=0即x³+x²－7x+2=0

   ﹙x-2﹚﹙x²＋3x-1﹚=0.

   ∴x1=2,x2=½﹙﹣3＋√13﹚,x3=½﹙-3－√13﹚
   
   2. 已知f(x)=x³-2x²-x+2，求多项式g(x)=f(f(x))除以x-1所得的余式。

   当x=1时，f(x)=x³-2x²-x+2=1-2-1+2=0

   当x＝0时，f(x)=x³-2x²-x+2=2

   ∴多项式g(x)=f(f(x))除以x-1所得的余式是2.
   

Answer 2

1、(x^3+x^2+ax+b)=(x-2)(x^2+3x+a+6)+b+2a+12，
——》b+2a+12=0，
(x^3+x^2+ax+b)=(x+2)(x^2-x+a+2)+b-2a-4，
——》b-2a-4=12，
解得：a=-7，b=2，
——》f(x)=(x-2)(x^2+3x+a+6)=(x-2)(x^2+3x-1)=(x-2)(x+3/2+v13/2)(x+3/2-v13/2)=0，
——》x1=2、x2=-3/2-v13/2、x3=-3/2+v13/2；
2、令x=1，则：f(1)=1-2-1+2=0，g(1)=f(f(1))=f(0)=2，
即g(x)=f(f(x))除以x-1所得的余式为2。