Question

求解高一数学直线与圆的问题：已知方程x²+y²-2x-4y+m=0.

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0.
(1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点）求m的值；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.
过程要详细一点啊！！！

Answer 1

解：1)原式变形得(x-1)^2+(y-2)^2=5-m
如果此方程表示圆，则5-m>0
所以m<5
2）
设两点坐标为M(x1,y1), N(x2,y2)
联立两式，分别消去x，y可得两个方程：
5y^2-16y+m+8=0
5x^2-8x+4m-16
因为OM⊥ON
所以，OM、ON的斜率互为负倒数，即x1/y1=-y2/x2，即x1*x2=-y1*y2
由韦达定理，x1*x2=(4m-16)/5, y1*y2=(m+8)/5代入x1*x2=-y1*y2得
(4m-16)/5=-(m+8)/5
解之得m=8/5
3）该圆的圆心是MN的中点，即圆心坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
继续运用韦达定理，x1+x2=8/5, y1+y2=16/5
所以圆心坐标为(4/5,8/5)
该圆的半径为r=1/2*|MN|=1/2*√[(x1-x2) 2+(y1-y2) 2]
=1/2*√[(x1+x2) 2-4x1x2+(y1+y2) 2-4y1y2]
由韦达定理：
x1+x2=8/5, y1+y2=16/5
x1*x2=(4m-16)/5=-48/25, y1*y2=(m+8)/5=48/25
带入得：r=4√5/5
所以以MN为直径的圆，圆心为(4/5,8/5)，半径为4√5/5
该圆的方程为：
(x-4/5) 2+(y-8/5) 2=16/5

Answer 2