Question

设函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0且c不等于0),且f(1)=-(a/2),求证函数f(x)在区间(0,2)内至

设函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0且c不等于0),且f(1)=-(a/2),求证函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点

Answer 1

证明：∵a>0 ,f(1)=-a/2

∴a+b+c=-a/2 f(1)<0

b=-3a/2-c

(1)若c>0，则f(0)=c>0与f(1)异号∴(0,1)内有一个零点∴（0,2）内至少有一个零点。

（2）若c<0，则f(2)=4a+2b+c=4a-3a-2c+c=a-c>0与f(1)异号∴（1,2）内有一个零点∴（0,2）内至少有一个零点

∴综上，函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点

Answer 2

f(1)=-(a/2)=a+b+c 得到 3a+2b+2c=0
f（0）=c ， f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+（a-c）=a-c
现在分以下情况讨论
（1）c< 0 时，f（0）=c<0 ， f（2）=a-c>0,f（x）是连续函数，所以很明显至少有一个零点。
（2）c> a 时，f（0）=c>0 ， f（2）=a-c<0,f（x）是连续函数，所以很明显至少有一个零点。
（3）0<c<a时，f（0）=c>0 ， f（2）=a-c>0,此时对称轴-b/2a的取值范围是（0，5/4）【证明如下：3a+2b+2c=0中ac都是正数， 故b小于0； 又因为0=3a+2b+2c<3a+2b+2a=5a+2b------得到：>0b/a>-5/2,所以对称轴0< 对称轴
即-b/2a<5/4】； 函数判别式=b方-4ac=（-3a-2c）方-4ac=9a方+4c方+8ac>0，函数最小值=f（-b/2a）=（4ac-b方）/4a<0。所以此时至少两个零点（0，-b/2a）上一个，（-b/2a，2）上一个；
综上，f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点。

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Answer 3

f(1)=a+b+c=-a/2 ==> 3a+2b+2c=0
因为a>0，所以b+c=-1.5a<0
f(0)=c
f(2)=4a+2b+c=4a+2(b+c)-c=4a-3a-c=a-c
若f(0)=c<0，则f(2)=a-c>0，f(0)*f(2)<0，f(x)在(0,2)内有一个零点
若f(0)=c>0，f(1)=-a/2<0，f(0)*f(1)<0，f(x)在(0,1)内有一个零点
综上，f(x)在(0,2)内至少有一个零点

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Answer 4

零点问题
列方程组 题目等价于：
1）f（1）=-(a/2)
2）因为a>0
所以f(0)*f(2)<0 或(deta>=0 f(0)>0 f(2)>=0 -b/2a在(0,2)内) （因为c不等于0排出了两端恰在0,2上的情况）
方程列完了，我还有事，你自己解下就好了 希望能帮到你

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