Question

函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A

(1)求点A的坐标(2)若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m,n都是正数，求1/m+2/n的最小值

Answer 1

(1)y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1),当x=-2时，loga(x+3)恒等于0，
∴y=loga(x+3)-1过定点A(-2,-1)。
(2)A(-2,-1)在直线mx+ny+1=0上，则有-2m-n+1=0,即2m+n=1
1/m+2/n=(1/m+2/n)*(2m+n)=2+n/m+4m/n+2=4+n/m+4m/n>=4+2√[（n/m)*(4m/n)]=8
取等号的条件：n/m=4m/n,2m+n=1,得到m=1/4,n=1/2
∴(1/m+2/n)min=8,此时m=1/4,n=1/2

Answer 2

（1）（-2，-1）（2）代入mx+ny+1=0得n+2m=1,1/m+2/n=(n+2m)/(mn）=1/(mn)=1/(m-2m^2),这里就简单了凑平方和项则得最小值为2