Question

已知数列｛an｝的各项均为正数，a1=1,a(n+1)^2-a(n)^2=2 求证：1/a1+1/a2+…+1/an小于等于根号下2n-1，...

已知数列｛an｝的各项均为正数，a1=1,a(n+1)^2-a(n)^2=2 求证：1/a1+1/a2+…+1/an小于等于根号下2n-1，对一切n属于N*恒成立

Answer 1

a1=1,
∵a(n+1)^2-a(n)^2=2
∴{a²n}为等差数列，公差为2
∴a²n=a²1+2(n-1)=2n-1
∵an>0
∴an=√(2n-1)
即证明：
1+1/√2+1/√3+.....+1/√(2n-1)≤√(2n-1)
用数学归纳法证明：
1当n=1时，左边=1右边=1，原式成立
2假设当n=k时，原式成立
即1+1/√2+1/√3+.....+1/√(2k-1)≤√(2k-1)
那么当n=k+1时，
左边=1+1/√2+1/√3+.....+1/√(2k-1)+1/√(2k+1)
≤√(2k-1)+1/√(2k+1)
={√[(2k-1)(2k+1)]+1}/√(2k+1)
=[√(4k²-1)+1]/√(2k+1)
<[√(4k²)+1]/√(2k+1)=√[2(k+1)-1]=右边
即当n=k+1时，原不等式成立
综上得，对任意的n∈N*原不等式总成立

Answer 2

a(n+1)^2-an^2=2，为定值
a1^2=1，数列{an^2}是以1为首项，2为公差的等差数列
an^2=1+2(n-1)=2n-1
数列各项均为正，an=√(2n-1)
1/an=1/√(2n-1)
n=1时，1/a1=1/1=1 √(2×1-1)=1 1/a1=√(2×1-1)，满足不等式取等号的条件，不等式成立。
假设当n=k(k为正整数)时，不等式成立，即1/a1+1/a2+...+1/ak≤√(2k-1)，则当n=k+1时，
1/a1+1/a2+...+1/ak+1/a(k+1)≤√(2k-1) +1/√[2(k+1)-1]
=√(2k-1)+1/√(2k+1)
=[√(2k-1)(2k+1) +1]/√(2k+1)
=[√(4k^2-1)+1]/√(2k+1)
<[√(4k^2)+1]/√(2k+1) /一步放缩
=(2k+1)/√(2k+1)
=√(2k+1)，不等式同样成立。
k为任意正整数，因此对于任意正整数n，不等式恒成立。
综上，得1/a1+1/a2+...+1/an≤√(2n+1)，不等式成立。