Question

已知各项均为正数的数列an前n项和为sn.数列a2n的前n项和为Tn，且(Sn-2)的平方+3Tn=4，证明an是等比数列，

已知各项均为正数的数列an前n项和为sn.数列a2n的前n项和为Tn，且(Sn-2)的平方+3Tn=4，证明an是等比数列，并写出通项公式

Answer 1

证：
n=1时，S1=a1 T1=a1²，代入(Sn-2)²+3Tn=4
(a1-2)²+3a1²=4
整理，得
a1²-a1=0
a1(a1-1)=0
数列各项均为正，a1≠0，因此只有a1=1
n≥2时，
(Sn -2)²+3Tn=4 (1)
[S(n-1)-2]²+3T(n-1)=4 (2)
(1)-(2)
Sn²-4Sn+4+3Tn-S(n-1)²+4S(n-1)-4-3T(n-1)=0
[Sn+S(n-1)][Sn-S(n-1)]-4an+3an²=0
an[Sn+S(n-1)]+3an²-4an=0
an[Sn+S(n-1)+3an-4]=0
an(Sn+Sn-an+3an-4)=0
2an(Sn +an-2)=0
an>0，因此只有Sn+an -2=0
Sn=-an+2
S(n-1)=-a(n-1)+2
Sn-S(n-1)=an=-an+2+a(n-1)-2
2an=a(n-1)
an/a(n-1)=1/2，为定值。
数列{an}是以1为首项，1/2为公比的等比数列。

追答

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