Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。

（1） 求证：PB∥平面EFG
（2） 求异面直线EG与BD所成角的余弦值；
（3） 在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为4／5？若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由。

E画的有点像B.......

Answer 1

取AB为中点H,连结GH,HE,
∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点,
∴GH∥AD∥EF.
∴E,F,G,H四点共面.
又H为AB中点,∴EH∥PB.
又EH∈面EFG,PB∉平面EFG,
∴PB∥面EFG.
(2)取BC的中点M,连结GM、AM、EM,则GM∥BD,
∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD所成的角.
在Rt△MAE中,EM=根号下的（EA^2+AM^2）=根号6
同理EG=6,又GM=1/2BD=根号2
∴在Rt△MGE中,cos∠EGM,EG^2+GM^2-ME^2）/(2*EG*GM)
=根号3/6，故异面直线EG与BD所成角的余弦值为根号3/6
假设在线段CD上存在一点Q,满足题设条件,过点Q作OR⊥AB于点R,连结RE,则QR∥AD.
∵四边形ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,
∴AD⊥AB,AD⊥PA.又AB∩PA=A,
∴AD⊥平面PAB.
又∵E,F分别是PA,PD的中点,
∴EF∥AD.∴EF⊥平面PAB.
又EF面EFQ,∴EFQ⊥平面PAB.
过A作AT⊥ER于点T,则AT⊥面EFQ,
∴AT就是点A到平面EFQ的距离.
设CQ=x(0≤x≤2),则BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,
在Rt△EAR中,AT=(AR*AE）/RE=(2-X)*1/(根号下的（2-x）^2+1^2)=4/5
解得x=2/3故存在点Q,当CQ=2/3时,点A到平面EFQ的距离为4/5

Answer 2

第一个问题：
∵F、G分别是PD、CD的中点，∴EG是△PCD的中位线，∴PC∥FG。
∵E、F分别是PA、PD的中点，∴EF是△PAD的中位线，∴AD∥EF。
∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，又AD∥EF，∴BC∥EF。
由PC∥FG、BC∥EF、PC∩BC＝C、FG∩EF＝F，∴平面PBC∥平面EFG，∴PB∥平面EFG。

第二个问题：
过G作GH∥DB交AC于H，令AC∩BD＝O。
∵ABCD是正方形，∴DB⊥AH，又DB∥GH，∴GH⊥AH。
∵平面PAD⊥平面ABCD，又PA⊥PD，∴PA⊥平面ABCD，∴GH⊥PA。
由GH⊥AH、GH⊥PA、AH∩PA＝A，得：GH⊥平面PAH，∴GH⊥EH。

∵PA＝AD＝2、ABCD是正方形，∴AB⊥AD、AD⊥DG、AB＝BC＝CD＝2，∴AE＝DG＝1，
∴AG^2＝AD^2＋DG^2＝4＋1＝5、OA＝OD＝√2。
∵PA⊥平面ABCD，∴AE⊥AG，∴EG＝√（AE^2＋AG^2）＝√（1＋5）＝√6。
∵GH∥DO、G是CD的中点，∴H是OC的中点，∴GH＝OD/2＝√2/2。
∴cos∠EGH＝GH/EG＝（√2/2）/√6＝1/（2√3）＝√3/6。
∵GH∥DB，∴∠EGH＝EG、BD所成的角，∴EG、BD所成角的余弦值是√3/6。

第三个问题：
显然有：EF＝AD/2＝1。
∵PA⊥AD、EF∥AD，∴AE⊥EF，∴S(△AEF)＝（1/2）AE×EF＝（1/2）×1×1＝1/2。
自然有：V(A－EFQ)＝V(Q－AEF)，∴（1/3）×（4/5）S(△EFQ)＝（1/3）DQ×S(△AEF)，
∴S(△EFQ)＝（5/4）DQ×S(△AEF)＝（5/4）×DQ×（1/2）＝（5/8）DQ。

过Q作QM∥AD交AB于M。
∵EF∥AD、MQ∥AD，∴EF∥MQ，∴S(△MEF)＝S(△EFQ)＝（5/8）DQ。
∵AD⊥AB、AD⊥PA、PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB，又EF∥AD，∴EF⊥平面PAB，
∴EF⊥EM，∴S(△EFQ)＝（1/2）EM×EF＝（1/2）EM×1＝（1/2）EM，
∴（1/2）EM＝（5/8）DQ，∴EM＝（5/4）DQ，∴√（AE^2＋AM^2）＝（5/4）DQ，
∴√（1＋AM^2）＝（5/4）DQ。

∵ABCD是正方形，∴AM∥DQ，又AD∥MQ，∴ADQM是平行四边形，∴AM＝DQ，
∴√（1＋DQ^2）＝（5/4）DQ，∴1＋DQ^2＝（25/16）DQ^2，∴（9/16）DQ^2＝1，
∴（3/4）DQ＝1，∴DQ＝4/3，∴CQ＝CD－DQ＝2－4/3＝2/3。
∴满足条件的点Q是存在的，且CQ＝2/3。

Answer 3

作QD垂直平面ABCD且QD＝2，取QD中点HaeiEFG与EHG共面显然有HG平行PB，PB又不在EHG面内6故有PB平行面EHG，所以PB平行面EFG