x＞0，y＞0，且x+y=5，则lgx+lgy的最大值是（？）
4个回答
2013-08-05 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识，尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖，期望能为你答疑
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解：
根据均值不等式得
5=x+y≥2√xy
√xy≤5/2
xy≤(5/2)²
当且仅当x=y=5/2时等号成立
于是
lgx+lgy
=lgxy
≤lg(5/2)²
=2lg(5/2)
=2lg(10/4)
=2(lg10-lg4)
=2-2lg4
根据均值不等式得
5=x+y≥2√xy
√xy≤5/2
xy≤(5/2)²
当且仅当x=y=5/2时等号成立
于是
lgx+lgy
=lgxy
≤lg(5/2)²
=2lg(5/2)
=2lg(10/4)
=2(lg10-lg4)
=2-2lg4
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选项里的答案是 2-4lg2
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一样的
因为2lg4=2lg2²=4lg2
所以=2-2lg4=2-2lg4
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lgx+lgy
=lg(xy)
=2lg(√xy)
<=2 lg[(x+y)/2]
=2lg2.5
=lg(xy)
=2lg(√xy)
<=2 lg[(x+y)/2]
=2lg2.5
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由基本不等式x+y≥2根号xy得5≥2根号xy
即xy≤25/4
lgx+lgy=lgxy≤lg25/4
所以最大值是lg25/4
即xy≤25/4
lgx+lgy=lgxy≤lg25/4
所以最大值是lg25/4
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解:因为x＋y=5,所以2根号(xy)=<5,所以根号xy=<5/2所以lgx＋lgy=lg(x*y)=lg(根号xy)^2=2lg(根号xy)=<2lg5/2,所以lgx＋lgy的最大值为2lg5/2
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选项里没有这个答案
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