Question

已知直线l1:y=mx+1,l2:x=-my+1,其中|m|≤1,设l1,l2的交点为P,它们分别经过的定点为A,B.

已知直线l1：y＝mx＋1，l2：x＝－my＋1，其中|m|≤1，设l1、l2的交点为P，它们分别经过的定点为A，B.
(1)求△ABP的面积S＝f(m)；
(2)求f(m)的最大值及对应的直线l1和l2的方程．

Answer 1

1.定点A、B坐标为A（0,1），B（1,0）
交点P
x=-m(mx+1)+1
(m²+1)x=1-m
xp=(1-m)/(m²+1)
同理，
yp=(1+m)/(m²+1)
直线AB的表达式是 x+y-1=0
所以点P到直线AB距离 h=|xp+yp-1| /√2
=|(1－m²)/(1+m²)| / √2
∵|m|≤1
∴1-m²≥0
h=(1-m²)/[√2(1+m²)]
底边AB长度 l=√2
∴面积S=1/2 h*l
=(1-m²)/(2+2m²)

∴f(m)=(1－m²)/(2+2m²),(-1≤m≤1)

2.
f(m)=(1－m²)/(2+2m²)
=[2－(1+m²)]/(2+2m²)
=1/(1+m²) －1/2 (-1≤m≤1)
∴f(m)随|m|的减小而增大
当m=0时，f(m)取最大值，f(m)max=1/2

此时，l1为y=1,l2为x=1