Question

关于x的方程|x-3|²+(a-2)|x-3|+2a=0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围（ ）

A、a=0 B、a≥0 C、a＞0或a=-2 D、a=-2

Answer 1

解：将原方程变形 x^2-6x+(a-2)|x-3|+9-2a=0 (x^2-6x+9)+(a-2)|x-3|-2a=0 (x-3)^2+(a-2)|x-3|-2a=0 |x-3|^2+(a-2)|x-3|-2a=0 这是一个以|x-3|为未知数的一元二次方程 若原方程有且只有两个不相等的实数根，那么|x-3|有且只有1个大于0的实数根（当|x-3|<0，无解；当|x-3|=0，x只有1解；当|x-3|>0有2解，x有4解） △＝(a-2)^2-4×(-2a)＝(a+2)^2 情况一、当判别式△＝0时，|x-3|有唯一解： △=0 a=-2 此时，原方程为|x-3|^2-4|x-3|+4=0 (|x-3|-2)^2=0 |x-3|=2 x=5 或者 x=1 情况二、|x-3|的一根大于0，另一根小于0： △>0 a≠-2 x1*x2<0 根据韦达定理，-2a<0，即a>0 综合两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2