Question

设f(x)是定义在R上的函数

①若存在X1X2，X2∈R，X1〈X2，使f(X1）〈f(X2)成立，择函数f（X1)在R上单调递增
②若存在X1X2，X2∈R，X1〈X2，使f(X1）≤f(X2)成立，择函数f（X1)在R上不可能单调递减
③若存在X2〉0，对于任意X1∈R，都有f（X1）〈f（X1+X2）成立，择函数f (X)在R上单调递减
④对任意X1,X2∈R，X1〈X2，都有f（X1)≥f（X2）成立，则函数f(X)在R上单调递减。
以上命题正确的序号是
A.①③ B.②③ C.②④ D.②
真心求答案。求详细的原因以及解答过程！谢谢~！

Answer 1

1错，定义是：对任意的X1X2，X2∈R，X1〈X2，使f(X1）〈f(X2)成立，则函数f（X1)在R上单调递增
2对
3错，结论应该是单增
4错；举例y=2这个函数，对任意X1,X2∈R，X1〈X2，都有f（X1)≥f（X2）成立（此时取等号），而y=2不是单调函数；
补充：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

追问

第二个选项也不正确吧，他说的是存在，如果f(x)整体是单调递增但是中途有单调递减的一段那么第二个选项也是错的啊。。求解释。。

追答

②若存在X1X2，X2∈R，X1〈X2，使f(X1）≤f(X2)成立，择函数f（X1)在R上不可能单调递减
你说是错误的，也就是说f（X1)在R上可能单调递减，那就单调递减了；
既然单调递减，那么对任意的X1，X2，X2∈R，X1〈X2都有f(X1）>f(X2);
既然对任意的X1，X2，X2∈R，X1〈X2都有f(X1）>f(X2);；那么必然不存在X1X2，X2∈R，X1〈X2，使f(X1）≤f(X2)成立的。明白没？

Answer 2

①错，证明函数的单调性，在区间D上选择的x1、x2需是任意的，不能是存在；
②对，要否定函数的单调性，只需举一个反例；
③错，不能是存在x2.例如当0<x3<x2时，可能有f（x1）>f（x1+x3）,不单调减；
④对，符合单调性定义.
选 C

追问

第四个显然不对的，有个等号。。你在看看第二个选项。。。

追答

没注意’‘=’‘号！④也应该错！
要推翻一个结论，只要举一个例子就可以了，如：“我们班全是男同学”，要推翻该结论，只要指出某某某是女同学即可！所以②对.
选D是对的！

追问

第二个选项也不正确吧，他说的是存在，如果f(x)整体是单调递增但是中途有单调递减的一段那么第二个选项也是错的啊。。求解释。。

追答

你对单调性理解不够，如果一个函数在某个区间单调增，那么在这个区间绝对不允许有局部的子区间单调减，例如，函数 y=x³-3x,在(-∞,-1)和(1,+∞)分别单调增，在(-1,1)单调减，你不能说在R上单调增.

Answer 3

解：
可以假设f(x)是个一次函数：f(x)=kx+b
所以f(x1)=kx1+b,
f(x1+x2)=k*(x1+x2)+b
因为f(x1)<f(x1+x2)成立，所以：
kx1+b<k*(x1+x2)+b
所以kx2>0,
因为x2>0,
所以k>0
所以函数f(x)=kx+b中：
b不变，
k>0,
所以通过一次函数图像可知，x越大，f(x)越大。
所以函数f(x)在r上单调递增。