Question

过原点O作圆x的平方+y的平方-6x-8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为多少、过程

Answer 1

1.原始方法：圆方程为：x^2+y^2-6x-8y+20=0即：(x-3)^2+(y-4)^2=5。设该圆为圆C，则圆心C坐标为(3,4)。而过原点O(0,0)做圆C的两条切线分别切于点P、Q。设点P(x1,y1)，点Q(x2,y2)。则有线段OC长为：|OC|^2=3^2+4^2=25，则 |OC|=5。可知三角形OPC,OQC均为直角三角形，故有：|OC|^2=|OP|^2+|CP|^2，|OC|^2=|OQ|^2+|CQ|^2。而|CP|=|CQ|=r=√5。即x1^2+y1^2=25-5=20，x2^2+y2^2=20。而|PQ|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2。根据OP垂直于CP可知：y1/x1=-(x1-3)/(y1-4)。即：x1^2+y1^2=3x1+4y1。同理可得：x2^2+y2^2=3x2+4y2。则可得：3(x1-x2)+4(y1-y2)=0。则有y1-y2=-3(x1-x2)/4。则|OP|^2=25(x1-x2)^2/16。由上知：可设x^2+y^2=20,x^2+y^2=3x+4y，则该二元二次方程的解即为P,Q的坐标。则有：x^2+(20-3x)^2/16=20。化简得：25x^2-120x+80=0，即(25x-20)(x-4)=0。故x1=4/5,x2=4。则(x1-x2)^2=256/25。故|OP|^2=16，则|OP|=4。即线段长为4。2.简单方法:根据上面的前面一部分知：OC=5,CP=√5，则可得：cos∠PCO=√5/5。而∠PCQ=2∠PCO。故有cos∠PCQ=cos2∠PCO=2(cos∠PCO)^2-1=-3/5。则|PQ|^2=|CP|^2+|CQ|^2-2|CP||CQ|cos∠PCQ=5+5-10*(-3/5)=10+6=16，故|PQ|=4。这个利用三角函数。

Answer 2

设圆心为A，
OA=5
AQ=AP=√5
OQ=OP=√20
(PQ/2)/AP=OP/AO
PQ/2√5=√20/5

PQ=4