Question

高一数学急求！定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞，0）时，f(X)

定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞，0）时，f(X)=-x²+mx-1
当x∈(0,+∞）时，求f(X)解析式
若方程f(x)=0有五个不相等的实数解，求实数m的取值范围
重点第二问。。具体怎么做？

Answer 1

定义在实数上的奇函数F（X），当X属于负无穷到0时，F（X）=-X的平方+MX-1，
（1）当X属于0到正无穷时，求F（X）的解析式
当x＜0时，f(x)=-x^2+mx-1
那么，当x＞0时，-x＜0
所以，f(-x)=-(-x)^2+m*(-x)-1=-x^2-mx-1
已知f(x)为奇函数，所以：f(-x)=-f(x)
所以，-f(x)=-x^2-mx-1
即，f(x)=x^2+mx+1

（2）若方程F（X）=0有五个不相等的实数解，求实数M的取值范围。
由前面知：
……{-x^2+mx-1（x＜0）
f(x)={
……{x^2+mx+1（x＞0）
且f(x)为奇函数，那么f(x)=-f(-x)
即，f(x)+f(-x)=0
则，f(0)=0
已知f(x)=0有5个不相等的实数根，除去已知的f(0)=0之外，还有4个
根据奇函数的对称性知，在x＞0（或者x＜0）时，有2个不相等的实数根
即，当x＞0时，f(x)=x^2+mx+1有两个相异的实数根
所以：
i）△=b^2-4ac=m^2-4＞0 ===> m＞2，或者m＜-2
ii）对称轴x=-m/2＞0 ===> m＜0
所以，m＜-2

【或者，当x＜0时，f(x)=-x^2+mx-1有两个相异的实数根
所以：
i）△=b^2-4ac=m^2-4＞0 ===> m＞2，或者m＜-2
ii）对称轴x=m/2＜0 ===> m＜0
所以，m＜-2】

Answer 2

（1）f(x)=x^2+mx+1
(2)见图

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