Question

求函数y=(2cosx+1)/(3cosx-2)的值域，可否求导或用罗比塔法则做？如何做？

我需要详细的解答过程，如若上述两种方法都行不通，麻烦写下最简便的其他方法，十分感激！

Answer 1

用求导或罗必塔法则，又会出现sinx的情况，因此本题一般不用求导的方法做的。
y=(2cosx+1)/(3cosx-2)
分式有意义，3cosx-2≠0 cosx≠2/3
整理，得
(3y-2)cosx-(2y+1)=0
令y=2/3，得-7/3=0，等式恒不成立，因此3y-2恒≠0，即等式成立，cosx恒≠2/3
cosx=(2y+1)/(3y-2)
-1≤cosx≤1(因为cosx=2/3时，y无解，因此只要解得y，则cosx≠2/3，因此不需要另外讨论)
-1≤(2y+1)/(3y-2)≤1
(2y+1)/(3y-2)≤1 (2y+1-3y+2)/(3y-2)≤0
(y-3)/(3y-2)≥0 y≥3或y≤2/3，又y≠2/3，因此 y≥3或y<2/3
(2y+1)/(3y-2)≥-1 (2y+1+3y-2)/(3y-2)≥0 (5y-1)/(3y-2)≥0
y≥2/3或y≤1/5 又y≠2/3，因此 y>2/3或y≤1/5
综上，得y≥3或y≤1/5