已知函数f(x)=x^3+3ax^2+3x+1, 若x∈[2,∞)时,f(x)≥0求a的取值范围
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x∈[2,∞),f(x)≥0,即x³+3ax²+3x+1>=0,即x+3/x+1/x²>=-3a
即x∈[2,∞)时,-3a<=x+3/x+1/x²恒成立,求x+3/x+1/x²在[2,∞)的最小值即可。
令g(x)=x+3/x+1/x²
g'(x)=1-3/x²-2/x³=(x³-3x-2)/x³
下面我们证g'(x)>=0在x∈[2,∞)恒成立,也即x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立。
令h(x)=x³-3x-2;
h'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1),易知h'(x)>0在x∈[2,∞)恒成立,所以g(x)在x∈[2,∞)为增函数,所以h(x)>=h(2)=0,也就是x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立,
也即g'(x)>=0在x∈[2,∞)恒成立,g(x)在x∈[2,∞)为增函数,
所以g(x)的最小值为g(2)=15/4,
所以-3a<=(2)=15/4,
得a>=-5/4
即x∈[2,∞)时,-3a<=x+3/x+1/x²恒成立,求x+3/x+1/x²在[2,∞)的最小值即可。
令g(x)=x+3/x+1/x²
g'(x)=1-3/x²-2/x³=(x³-3x-2)/x³
下面我们证g'(x)>=0在x∈[2,∞)恒成立,也即x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立。
令h(x)=x³-3x-2;
h'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1),易知h'(x)>0在x∈[2,∞)恒成立,所以g(x)在x∈[2,∞)为增函数,所以h(x)>=h(2)=0,也就是x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立,
也即g'(x)>=0在x∈[2,∞)恒成立,g(x)在x∈[2,∞)为增函数,
所以g(x)的最小值为g(2)=15/4,
所以-3a<=(2)=15/4,
得a>=-5/4
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f'(x)=3x^2+6ax+3
当△《0 4a^2-4<=0 -1《a《1
f(x)为单调增函数
f(2)》0即可 即 8+12a+6+1>=0 a>=-5/4
综合 即-1《a《1
2.△>0 ,且X1+X2=-2a=<0 时
f(x)在x>=2是单调递增,
f(2)》0即可 即 8+12a+6+1>=0 a>=-5/4
即a>1
3.△>0 ,且X1+X2=-2a>0 (X1<X2) 且 X2<=2
解出a>=-5/4 f(2)>=0
综合为-5/4<=a<=-1
4..△>0 ,且X1+X2=-2a>0 (X1<X2) 且 X2>2
最小值为f(X2)>=0
这个你自己解吧
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当a≧0时f(x)单调增,f(2)≧0得a≧1.5.
当a≤﹣2时,f(x)在a处取得最小值,f(a)≧0得a。。。
当0<a≤﹣1时,f(x)单调增,f(2)≧2得a≧1.5.
当﹣1<a﹤0时,f(x)=0,x1=﹣a-(a²-1)½ ,x2=﹣a+(a²-1)½
f(x)在x2处取得最小值,f(x2)=f(﹣a+(a²-1)½ )≥2得a。。。。。。。
当a≤﹣2时,f(x)在a处取得最小值,f(a)≧0得a。。。
当0<a≤﹣1时,f(x)单调增,f(2)≧2得a≧1.5.
当﹣1<a﹤0时,f(x)=0,x1=﹣a-(a²-1)½ ,x2=﹣a+(a²-1)½
f(x)在x2处取得最小值,f(x2)=f(﹣a+(a²-1)½ )≥2得a。。。。。。。
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