Question

已知a^2+b^2+c^2=1,则ab+ac+bc的取值范围是?

Answer 1

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a^2+b^2+c^2=1,则a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2=2
a^2+b^2≥2ab，a^2+c^2≥2ac，c^2+b^2≥2bc，
故：2(a^2+b^2+c^2) =2 ≥ 2ab+2ac+2bc
所以：ab+ac+bc≤1
又因：(a+b+c)²≥0，a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)≥0，ab+bc+ca ≥ -(a²+b²+c²)/2 = -1/2
综上 ：-1/2≤ab+bc+ca≤1

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Answer 2

(a-b)²≥0 a²+b²≥2ab (1)
同理，b²+c²≥2bc (2) c²+a²≥2ca (3)
(1)+(2)+(3)
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ca)
ab+bc+ca≤a²+b²+c²
a²+b²+c²=1，因此ab+bc+ca≤1
(a+b+c)²≥0
a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)≥0
ab+bc+ca≥-(a²+b²+c²)/2
a²+b²+c²=1
ab+bc+ca≥-1/2
综上，得-1/2≤ab+bc+ca≤1
ab+bc+ca的取值范围为[-1/2，1]

Answer 3

a^2+b^2+c^2=1 2(a^2+b^2+c^2)=2 ( a^2+b^2)+(a^2+c^2)+(b^2+c^2)>=2ab+2ac+2bc
2ab+2ac+2bc<=2 ab+ac+bc<=1