Question

高中等差数列证明问题

证若mnp构成等差数列，则Am,An,Ap也构成等差数列（mnp∈正整数）
证{Sn/n}是等差数列
若Sn=m.Sm=n(m≠n),证S(m+n)=-(m+n)
若{An}{Bn}为等差数列,其前n项和为Sn,Tn证An/Bn=S(2n-1)/T(2n-1)
一项数为2n的等差数列{An},证奇数项之和与偶数项之和的比=An/A(n+1)
一项数为2n-1的等差数列{An},证奇数项之和与偶数项之和的比=n/(n-1)

打得好追加50说到做到

Answer 1

1、
An为等差数列，设d为公差，A1=a
那么An=a+(n-1)d
故Am=a+(m-1)d，Ap=a+(p-1)d
而mnp构成等差数列，于是m+p=2n
所以
Am+Ap
=a+(m-1)d+a+(p-1)d
=2a+(m+p-2)d
=2a+(2n-2)d
=2[a+(n-1)d]=2An
故Am,An,Ap也构成等差数列
命题得到了证明

2、
由公式可以知道Sn=a1*n +n*(n-1)d/2，
那么Sn/n=a1+(n-1)d/2
所以显然Sn/n -S(n-1)/(n-1)=d/2
Sn/n是等差数列
命题得到了证明

3、
若Sn=m，Sm=n(m≠n)
即
Sn=a1*n +n*(n-1)d/2=m
Sm=a1*m +m*(m-1)d/2=n
相减得到
a1*(m-n)+(m²-m-n²+n)d/2=n-m
即a1*(m-n)+(m-n)(m+n-1)d/2=n-m
所以a1+(m+n-1)d/2= -1
那么S(m+n)=a1*(m+n) +(m+n)*(m+n-1)d/2
=(m+n)*[a1+(m+n-1)d/2]
= -(m+n)
命题得到了证明

4、
若{An}{Bn}为等差数列，其前n项和为Sn,Tn
显然A1+A(2n-1)=A2+A(2n-2)=……=2An
故S(2n-1)=(2n-1)*An
同理T(2n-1)=(2n-1)*Bn
于是
An/Bn=S(2n-1)/T(2n-1)，命题得到了证明

5、
一项数为2n的等差数列{An}，有n个奇数项和n个偶数项
奇数项之和为A1+A3+…+A(2n-1)=[A1+A(2n-1)]*n/2
偶数项之和为A2+A4+…+A2n=(A2+A2n)*n/2
所以
奇数项之和与偶数项之和的比=[A1+A(2n-1)] / (A2+A2n)
设公差为d，那么
[A1+A(2n-1)] / (A2+A2n)
=[A1+A1+(2n-2)d]/ [A1+d+A1+(2n-1)d]
=[2A1+(2n-2)d] / (2A1+2nd)
=[A1+(n-1)d] /(A1+nd)
显然A1+(n-1)d=An，A1+nd=A(n+1)
所以奇数项之和与偶数项之和的比=An/A(n+1)
命题得到了证明

6、
一项数为2n-1的等差数列{An}，有n个奇数项和n-1个偶数项
奇数项之和为A1+A3+…+A(2n-1)=[A1+A(2n-1)]*n/2
偶数项之和为A2+A4+…+A(2n-2)=[A2+A(2n-2)]*(n-1)/2
所以
奇数项之和与偶数项之和的比=[A1+A(2n-1)]*n / [A2+A(2n-2)]*(n-1)
设公差为d，那么
[A1+A(2n-1)] / [A2+A(2n-2)]
=[A1+A1+(2n-2)d]/ [A1+d+A1+(2n-3)d]
=[2A1+(2n-2)d] / [2A1+(2n-2)d]
=1
故奇数项之和与偶数项之和的比
=[A1+A(2n-1)]*n / [A2+A(2n-2)]*(n-1)
=n/(n-1)
命题得到了证明

Answer 2

4.S（2n-1)/(2n-1)带入等差数列公式：Sn=(A1+An)乘n除以2，可得，该式=An（此式为等差数列的一个属性），则可得An/Bn=［S(2n-1)/(2n-1)］/［T(2n-1)/(2n-1)］=S(2n-1)/T(2n-1)
目前能帮你的只有这一道题，希望对你有帮助