Question

函数f<x>=[ax+b]/[1+x^2]是定义在（-1，1）上奇函数，且f<1/2>=2/5

1>用定义证明f<x>在（-1,1）上是增函数
2>解不等式f(t-1)+f(t)<0

Answer 1

函数f（x）=（ax+b）/（1+x²）是定义在(-1,1)上的奇函数
则f(0)=b=0
又知f（1/2）=2/5
即(a/2+b)/(1+1/4)=2/5
2a/(4+1)=2/5
解得a=1
函数解析式为f(x)=x/(1+x²)
(1) 设有-1<x1<x2<1
则x2-x1>0 x1*x2<1 即1-x1*x2>0
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2²)-x1/(1+x1²)=[x2(1+x1²)-x1(1+x1²)]/(1+x1²)(1+x2²)
=[(x2-x1)+x1*x2(x2-x1)]/(1+x1²)(1+x2²)
=(x2-x1)(1-x1*x2)/(1+x1²)(1+x2²)
>0
所以f(x)是增函数
(3) 因f(x)是奇函数
所以f(-t)=-f(t)
于是f(t-1)+f(t)<0
即f(t-1)<-f(t)=f(-t)
已知f(x)为增函数，则
-1<t-1<-t<1
解得0<t<1/2

追问

=[(x2-x1)+x1*x2(x2-x1)]/(1+x1²)(1+x2²)
?不是=[(x2-x1)+x1*x2(x1-x2)]/(1+x1²)(1+x2²)？

追答

可能打错了

Answer 2

f(1/2)=(2a+4b)/5=2/5
得到a+2b=1,b=(1-a)/2
f(x)=-f(-x),ax+b=ax-b，得到b=0,z则a=1
f(x)=x/(1+x^2)
令-1<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/k (k是分母部分,明显是大于0的)
=[x1x2(x1-x2)+x2-x1]/k=(x2-x1)(1-x1x2)/k
x2-x1>0,1-x1x2>0所以结果大于0，所以丹增。
（2）f(0)=0,由于是奇函数，所以只要自变量的和小于0即可，即：t-1+t<0,t<1/2

Answer 3

（1）.f(1/2)=-2/5,因为是奇函数，所以f（0）=0，所以b=0,再将x代入即可，a=-16/25.f(x)=-16/25x^3-16/25x
（2）因为，易得-16/25x^3为减函数，-16/25x为减函数，所以两个减函数的组合为减函数。
（3)因为是减函数，所以f(t-1)<-f(t),f(t-1)<f(-t),所以t-1>-t,求得t>1/2,结合定义，1>t>1/2.
希望你满意。。。。。。。累死我了符号不好打。。。。。。。

Answer 4

F(0)=0,F(二分之一）=五分之二
所以a=1,b=0
所以任取x1和x2，使-1＜x1＜x2＜1
让F(x1)-F（x2）＜0
所以得证
t＜二分之一